Question

下列命題正確的是

 

（寫序號）
①命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x；
②函數(shù) f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為“π”是“a=1”的必要不充分條件；
③x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立；
④”平面向量

a

與

b

的夾角是鈍角“的充分必要條件是“

a

•

b

＜0”

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定，可判斷①；
②利用二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的周期公式，結合充分必要條件的概念可判斷②；
③利用等價轉化思想與恒成立問題，可知x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(

x2+2x

x

)min（x∈[1，2]），從而可判斷③；
④利用向量的數(shù)量積的坐標運算及充分必要條件的概念可判斷④．

解答： 解：對于①，命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x，故①正確；
對于②，∵函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期為T=

2π

2|a|

=π，
∴|a|=1，解得a=±1，即f（x）的最小正周期為“π”不能⇒“a=1”，充分性不成立；
反之，若a=1，則函數(shù)f（x）的最小正周期為π，必要性成立，
∴函數(shù) f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為“π是“a=1”的必要不充分條件，故②正確；
對于③，x²+2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立?a≤(

x2+2x

x

)min（x∈[1，2]），或者是當x∈[1，2]時，函數(shù)y=x²+2x的圖象恒不在y=ax的圖象的下方，而不是（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，故③錯誤；
全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題：“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判斷③；
對于④，若平面向量

a

與

b

的夾角是鈍角，則

a

•

b

＜0，必要性成立；
反之，若

a

•

b

＜0，則平面向量

a

與

b

的夾角是鈍角或π，即充分性不成立，故④錯誤．
綜上所述，正確的命題為：①②．
故答案為：①②．

點評：本題考查考查正弦定理、二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的周期公式等基本知識，考查充分必要條件的概念及全稱命題與特稱命題之間的關系，考查等價轉化思想，屬于中檔題．