Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為，正數(shù)數(shù)列{b_n}的首項為c，且滿足：．記數(shù)列{b_nb_n+1}前n項和為T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)Sn求出a₁，a₂，a₃，根據(jù){a_n}為等比數(shù)列，確定出c的值．
（Ⅱ）根據(jù)，得到bn與bn+1的遞推關系，根據(jù)特殊的數(shù)列求通項．
（Ⅲ）先求出Tn，假設滿足T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，得到n與m的關系式，再根據(jù)1＜m＜n，求出m，n的范圍，根據(jù)m，n是正整數(shù)，求出m，n的值．
解答：解：（Ⅰ），，（3分）
因為{a_n}為等比數(shù)列所以a₂²=a₁a₃，得c=1（4分）
經(jīng)檢驗此時{a_n}為等比數(shù)列．（5分）
（Ⅱ）∵
∴
數(shù)列為等差數(shù)列   （7分）
又S₁=b₁=c=1，所以
所以（n∈N^*）（10分）
（Ⅲ）（12分）
假設存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列
則，所以
由n＞m＞1得且-2m²+4m+1＞0
即，所以
因為m為正整數(shù)，所以m=2，此時n=12
所以滿足題意的正整數(shù)存在，m=2，n=12．（15分）
點評：熟練掌握并靈活運用等差等比數(shù)列的通項公式以及求和公式是解決此題的關鍵．