Question

設(shè)a+2b=3，b＞0，則

1

2|a|

+

|a|

3b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a+2b=3，b＞0，可得a=3-2b≠0．于是得到

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．通過對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．

解答： 解：∵a+2b=3，b＞0，
∴a=3-2b≠0
∴

1

2|a|

+

|a|

3b

=

1

2|3-2b|

+

|3-2b|

3b

=f（b）．
當(dāng)b＞

3

2

時(shí)，f（b）=

1

2(2b-3)

+

2b-3

3b

，則f′（b）=

-1

(2b-3)2

+

1

b2

=

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，
當(dāng)

3

2

＜b＜3時(shí)，f′（b）＜0，函數(shù)f（b）單調(diào)遞減；當(dāng)b＞3時(shí)，f′（b）＞0，函數(shù)f（b）的單調(diào)遞增．
又f′（3）=0，∴當(dāng)b=3時(shí)，函數(shù)f（b）取得極小值，f（3）=

1

2

．
當(dāng)0＜b＜

3

2

時(shí)，f（b）=

1

2(3-2b)

+

3-2b

3b

，
則f′（b）=-

3(b-1)(b-3)

(2b2-3b)2

，此時(shí)當(dāng)b=1時(shí)，f（b）取得極小值，f（1）=

5

6

．
綜上可知：當(dāng)b=3時(shí)，函數(shù)f（b）取得最小值，f（3）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論，屬于中檔題．