Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）求證：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，再求得，，寫出切線方程.

（2）令，求導(dǎo)，設(shè)，則，結(jié)合，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再利用零點(diǎn)存在定理求解.

（3）設(shè)，則，將證明，轉(zhuǎn)化為證明成立，易知恒成立，則要證，只需證為單調(diào)遞減函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)法證明即可.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

所以，，

所以的圖象在處的切線方程為，即.

（2）設(shè)，定義域?yàn)?/span>，

，

設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，因此在上單調(diào)遞減，

又，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

因此，而，

所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

而，

所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（3）設(shè)，則，

不等式，即為，

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以

所以

所以恒成立，

所以要證，只需證為單調(diào)遞減函數(shù).

，

設(shè)

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以

所以恒成立，

則

即，

所以，

所以為單調(diào)遞減函數(shù)，

故.