【題目】如圖①,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是邊AB,BC上的點(diǎn)(端點(diǎn)除外),將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′(如圖②).
(1)求證:A′D⊥EF;
(2)當(dāng)點(diǎn)E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)時(shí),求直線A′E與直線BD所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)利用折疊前后有些垂直關(guān)系不變及直線與平面垂直的判定和性質(zhì)可證(2)取A’F的中點(diǎn)N,EF的中點(diǎn)M,異面直線A′E與直線BD所成角轉(zhuǎn)化為相交直線NM與ND所成銳角或直角,利用余弦定理求其余弦值即可.
(1)證明:顯然,又,
因?yàn)?/span>,
所以
(2)設(shè),取A’F的中點(diǎn)N,
因?yàn)镋、F為AB,BC的中點(diǎn),所以M為EF的中點(diǎn),
連MN則MN//A’E,連ND,
則或其補(bǔ)角就是異面直線A’E與BD所成角,
在中,
,
直線A’E與直線BD所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)又本l:(m+3)x-(m+2)y+m=0與圓C:(x-3)2+(y-4)2=9.
(1)求證:無(wú)論m為何值,直線l總過定點(diǎn)A,并說(shuō)明直線l與圓C總相交.
(2)m為何值時(shí),直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最?請(qǐng)求出該最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】寫出下面兩個(gè)的相關(guān)命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假:
(1)命題:若,則.
逆命題:_______________________________________________________(________)
逆否命題:_____________________________________________________(________)
(2)命題:設(shè)是實(shí)數(shù),如果,那么有實(shí)數(shù)根。
否命題:_______________________________________________________(________)
逆否命題:_____________________________________________________(________)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,分別是棱,的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且,,.
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)時(shí),求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是正方形, 平面, , , , , 分別為, , 的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線所成的角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓,它的中心在原點(diǎn),左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)(文)若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),過P作垂直于x軸的垂線,垂足為M,延長(zhǎng)MP至N,使得P恰好為MN中點(diǎn),求點(diǎn)N的軌跡方程;
(理)若已知點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段中點(diǎn)的軌跡方程;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”,三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū),沿著AB、AE處擺放折線形書架(書架寬度不計(jì)),四邊形區(qū)域?yàn)?/span>BCDE為閱讀區(qū),若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CD=m.
(1)求兩區(qū)域邊界BE的長(zhǎng)度;
(2)若區(qū)域ABE為銳角三角形,求書架總長(zhǎng)度AB+AE的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若關(guān)于的方程的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為,則的所有可能值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5
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