Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=

t

是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點(diǎn)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記bn=2(1-

1

an

)，當(dāng)t=2時，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)t=2時，求證：對于任意的正整數(shù)n，有 

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）利用x=

t

是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點(diǎn)求出a_n與a_n+1的關(guān)系式，從而加以證明；
（II）解決關(guān)鍵在于運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出n的最小值．
（III）先將

1

(ak+1)(ak+1+1)

拆項(xiàng)并求和，通過觀察與分析得出指數(shù)函數(shù)g（x）的表達(dá)式．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)．
由題意f′(

t

)=0，即3an-1(

t

)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)，
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t
a₃-a₂=（t-1）t²
…
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩邊分別相加得an-a1=(t-1)(t+t2+…tn-1)，∴an=tn(n≥2)，
當(dāng)n=1時，上式也成立，∴an=tn
（Ⅱ）當(dāng)t=2時，bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴S_n=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

．
由S_n＞2008，得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，
當(dāng)n≤1004時，n+(

1

2

)n＜1005，
當(dāng)n≥1005時，n+(

1

2

)n＞1005，
因此n的最小值為1005．
（Ⅲ）∵

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=

2k

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

∴

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，以及數(shù)列與函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．