Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA₁=

2

，M，N分別為棱AA₁、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊A₁B₁上，且A₁P=2PB₁．
（1）求證：MN⊥AP；
（2）求二面角M-AN-P的正切值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于H，連接MN．由題意可得：NH⊥面ABB₁A₁，所以MH為MN在面ABB₁A₁內(nèi)的射影，且AH=

3

4

2

，再結(jié)合解三角形的知識(shí)即可得到答案．  
（2）根據(jù)線面關(guān)系作出二面角的平面角，再證明此是二面角的平面角，然后放入三角形中利用解三角形的有關(guān)知識(shí)夾角問(wèn)題即可．

解答：解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AB于H，連接MN．
∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，且NH⊥AB，
∴NH⊥面ABB₁A₁，
∴MH為MN在面ABB₁A₁內(nèi)的射影，且AH=

3

4

2

在Rt△MAH中，tan∠AMH=

AH

AM

=

3

2

，
在Rt△AA₁P中，tan∠APA₁=

AA1

A1P

=

3

2

，
∴∠AMH=∠APA₁，
∵∠A₁AP+∠AMH=∠A₁AP+∠APA₁=90°，
∴MH⊥AP．
由三垂線定理知MN⊥AP．  
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)D，連接DN、DA₁
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于E，過(guò)E作EF⊥AN于F，連接PF，
由三垂線定理知：∠PFE為二面角M-AN-P的平面角．
在△A₁B₁D中，cos∠B₁A₁D=

A1 B 2 1 +A1D2-B1D2

2A1B1•A1D

=

3 10

10

，
在Rt△PEA₁中，PE=A₁P•sin∠B₁A₁D=

2 5

15

，
∴tan∠PFE=

PE

EF

=

2 5 15

2

=

10

15

．
故二面角M-AN-P的正切值為

10

15

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)其特征得到線面的位置關(guān)系，進(jìn)而解決平行關(guān)系與垂直關(guān)系以及空間角等問(wèn)題．