Question

已知f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x²-4x+3，
（Ⅰ）求f[f（-1）]的值；  
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；  
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：f（-1）=-f（1），并且f（0）=0．由已知可得f（1）=0，所以f（-1）=0，進而得到答案．
（Ⅱ）設x＜0則-x＞0，所以f（-x）=x²+4x+3，結合函數(shù)的奇偶性可得：f（x）=-x²-4x-3，進而寫出函數(shù)的解析式．
（Ⅲ）由題意可得：f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]，所以二次函數(shù)的對稱軸為x=2，根據(jù)二次函數(shù)的性質討論對稱軸與區(qū)間的位置關系，進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
所以f（-1）=-f（1），并且f（0）=0．
又因為當x＞0時，f（x）=x²-4x+3，
所以f（1）=0，
所以f（-1）=0．
所以f[f（-1）]=f（0）=0…4′
（Ⅱ）設x＜0則-x＞0，
因為當x＞0時，f（x）=x²-4x+3，
所以f（-x）=x²+4x+3，
又因為f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，
所以f（x）=-x²-4x-3．
所以f(x)=

x2-4x+3(x＞0) 0(x=0) -x2-4x-3(x＜0)

…4′
（Ⅲ）由題意可得：f（x）=x²-4x+3，x∈[t，t+1]，
所以二次函數(shù)的對稱軸為x=2，
當t+1＜2，即0＜t≤1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞減，
所以f（x）_min=f（t+1）=t²-2t．
當t＞2時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，
所以f（x）_min=f（t）=t²-4t+3．
當t≤2＜t+1時，即1＜t≤2時，f（x）在[t，t+1]上先減后增，
所以f（x）_min=f（2）=-1．
所以f(x)min=

t2-2t(0＜t≤1) -1(1＜t≤2) t2-4t+3(t＞2)

…6′

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握求函數(shù)解析式的方法，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關性質，并且熟練利用其性質求函數(shù)的最值．