Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為T_n，{b_n}為等差數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N⁺），b₁+b₂+b₃=
15．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即 …4分
又 a₂=2S₁+1=3=3a₁ …2分
∴{a_n}是公比為3的等比數(shù)列 …8分
（2）由（1）得：a_n=3^n-1 …9分
設(shè){b_n}的公差為d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5 …11分
依題意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，有（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故T_n=3n+=n²+2n …16分．
分析：（1）通過a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．利用等比數(shù)列的定義判斷{a_n}是公比為3的等比數(shù)列．
（2）由（1）得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，設(shè){b_n}的公差為d（d＞0），利用a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求出公差，然后求解T_n．
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等比關(guān)系的確定的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．