Question

（2012•�？谀�擬）若圓x²+y²-4x-9=0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A．B都在雙曲線上，且A、B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A．

  x2

  9

  -

  y2

  72

  =1
• B．

  y2

  9

  -

  x2

  72

  =1
• C．

  x2

  16

  -

  y2

  81

  =1
• D．

  y2

  81

  -

  x2

  16

  =1

Answer 1

分析：由題設(shè)知A、B是雙曲線的頂點(diǎn)．令x=0，則y=-3或y=3，故A（0，-3），B（0，3），在雙曲線中，a=3，2c=3×2a=18，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：∵圓x²+y²-4x-9=0與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在雙曲線上，
且A、B兩點(diǎn)恰好將此雙曲線的焦距三等分，
∴A、B是雙曲線的頂點(diǎn)．
令 x=0，則 y=-3或y=3，
∴A（0，-3），B（0，3），
在雙曲線中，a=3，2c=3×2a=18，
∴a=3，c=9，b²=81-9=72，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2

9

-

x2

72

=1．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．