Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的點，OC垂直于直徑AB，過F點作⊙O的切線交AB的延長線于D．連結CF交AB于E點．
（Ⅰ）求證：DE²=DB•DA；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為4

3

，OB=

3

OE，求EF的長．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）連接OF，利用切線的性質及角之間的互余關系得到DF=DE，再結合切割線定理即可證明DE²=DB•DA；
（2）由圓中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，結合直角三角形中邊的關系，先求出AE和EB，從而求出EF的長．

解答： （Ⅰ）證明：連結OF．
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°．
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切線，
∴DF²=DB•DA．
∴DE²=DB•DA  …（5分）
（Ⅱ）解：由題意，OE=

1

3

OB=4，CO=4

3

，CE=

CO2+OE2

=8．
∵CE•EF=AE•EB=（4

3

+4）（4

3

-4）=32，
∴EF=4．  …（10分）

點評：本題主要考查了與圓有關的比例線段、圓的切線的性質定理的應用，屬于基礎題之列．