Question

【題目】已知橢圓： （ ）的左右焦點分別為， ，離心率為，點在橢圓上， ， ，過與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于， 兩點， 為， 的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點，且，求直線所在的直線方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的直線方程為或.

【解析】試題分析：

(1)利用題意結(jié)合余弦定理首先求得a,c的值，然后利用a,b,c的關(guān)系求得b的值即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線的斜率存在，利用點斜式設(shè)出直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，利用題意結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于實數(shù)k的方程，求解方程即可得到直線的斜率，然后求解直線方程即可.

試題解析：

（Ⅰ）由，得，

因為， ，

由余弦定理得，

解得， ，

∴，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）因為直線的斜率存在，設(shè)直線方程為， ， ，

聯(lián)立整理得，

由韋達定理知， ，

此時，又，則，

∵，∴，得到或．

則或，

的直線方程為或．