Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x≠0）．
（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值與最小值；
（3）試求函數(shù)y=

x

+

1

x+3

+1的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及比較端點(diǎn)值即可求得f（x）的最值；
（3）通過(guò)求y′判斷函數(shù)y=

x

+

1

x+3

在其定義域上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出該函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

；
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)（1）知函數(shù)f（x）在[

1

2

，1]單調(diào)遞減，在（1，2]單調(diào)遞增；
∴f（1）=2是f（x）在[

1

2

，2]上的最小值，f(

1

2

)=

5

2

，f（2）=

5

2

，∴最大值為

5

2

；
（3）y′=

(x+3) x+3 - x

( x+3 )3 x

；
∵

x+3

＞

x

，x+3＞1；
∴(x+3)

x+3

＞

x

，∴y′＞0；
∴函數(shù)y在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴x=0時(shí)，函數(shù)y取最小值

3

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，最值的概念及根據(jù)單調(diào)性與端點(diǎn)值求函數(shù)最值的方法．