Question

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，且在軸上的正投影為右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，試問(wèn)：直線的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出其定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由題意求出a，b,即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）依題意知，點(diǎn)，設(shè)，直線的方程為：，聯(lián)立方程可得利用韋達(dá)定理表示G點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得： ，），從而得到結(jié)果.

（Ⅰ）由題設(shè)知，

由橢圓的定義知：的周長(zhǎng)為，解得.

故因此，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：依題意知，點(diǎn)，設(shè)

直線的方程為：，

聯(lián)立，得，

則， 即，

又，

即 ，）

又直線的傾斜角互補(bǔ)，則直線的斜率為

同理可得： ，），

因此，直線的斜率為為定值.