Question

4．已知點A（-1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若過點$N（\frac{1}{2}，1）$的直線l交點M的軌跡于C，D兩點，且N為線段CD的中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M坐標為（x，y），利用直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2，即可確定出M的軌跡方程；
（2）設(shè)出C與D坐標，分別代入M的軌跡方程，整理由根據(jù)N為CD中點，求出直線l斜率，即可確定出直線l方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
∵直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積為2，
∴$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}$=2，
則動點M的軌跡方程為2x²-y²=2（x≠±1）；
（2）由（1）得M的軌跡方程為2x²-y²=2（x≠±1），
設(shè)點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有2x₁²-y₁²=2①，2x₂²-y₂²=2②，
①-②得：2（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∵N（$\frac{1}{2}$，1）為CD的中點，
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=2，
∴直線l的斜率k=1，
∴直線l的方程為y-1=x-$\frac{1}{2}$，即2x-2y+1=0．

點評 此題考查了軌跡方程，直線的點斜式方程，熟練掌握運算性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．