Question

已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F（-1，0），離心率為，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=，由此能夠求出橢圓的方程．
（II）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），由，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x，y），x₁+x₂=，x=，垂直平分線NG的方程為y-y=-，由此能求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=…（2分）
解得：a=，b=1（3分）
故橢圓的方程為：=1（4分）
（II）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），（5分）
聯(lián)立，得，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x，y）
則x₁+x₂=（9分）
x=（10分）
垂直平分線NG的方程為y-y=-，（11分）
令y=0，得x_G=x+ky=-
=-．（12分）
∵k≠0，∴-＜0（13分）
∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（-，0）．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．