Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面,,，,.

（1）求證：平面；

（2）若為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，平面，求的值；

（3）求二面角的的大小;

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先證明平面，再平面.(2)先根據(jù)平面證明，再利用相似三角形求得.（3）建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求得二面角的大小為.

（1）證明：如圖1，因?yàn)槠矫?/span>平面，

平面平面，平面，

，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

（2）如圖2，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>平面，平面，

平面平面，所以.

所以.

因?yàn)?/span>，，

所以.

所以.

所以.所以=.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以.

（3）連接，由（1）知平面，

平面，平面

所以，

因?yàn)?/span>，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.

作，所以.

如圖3建立空間坐標(biāo)坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>

所以，

因?yàn)?/span>，，，

所以平面.平面的法向量.

設(shè)平面的法向量，則有 即

令，則，，即.

.

由題知二面角為銳角，

所以二面角的大小為.