已知f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)A={a|-1≤a≤1}.(Ⅱ){m|m≥2,或m≤-2}.
【解析】
試題分析:
思路分析:(Ⅰ)根據(jù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),可得到f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立.轉化成(x)=x2-ax-2,二次函數(shù)問題。處理的方法較多。
(Ⅱ)由
從而可以得到x2-ax-2=0的兩非零實根x1,x2的關系,將問題轉化成
“要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立“同樣將問題轉化成二次函數(shù)問題。
解:(Ⅰ)f'(x)=4+2 ∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),
∴f'(x)≥0對x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0對x∈[-1,1]恒成立. ①
設(x)=x2-ax-2,
方法一:
① -1≤a≤1,
∵對x∈[-1,1],只有當a=1時,f'(-1)=0以及當a=-1時,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
方法二:
① 或
0≤a≤1或-1≤a<0
-1≤a≤1.
∵對x∈[-1,1],只有當a=1時,f'(-1)=0以及當a=-1時,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由
∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩非零實根,
∴
從而|x1-x2|==.
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
當且僅當m2+tm+1≥3對任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0對任意t∈[-1,1]恒成立. ②
設g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
當m=0時,②顯然不成立;
當m≠0時,
②或
m≥2或m≤-2.
所以,存在實數(shù)m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范圍是{m|m≥2,或m≤-2}.
考點:函數(shù)的零點,二次函數(shù)的圖象和性質,不等式恒成立問題。
點評:中檔題,本題主要利用“轉化與化歸思想”,將問題轉化成二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題,通過確定函數(shù)的最值,達到確定參數(shù)范圍的目的。
科目:高中數(shù)學 來源:安徽省無為嚴橋中學2007-2008第一次月考高三(數(shù)學文) 題型:044
已知f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值組成的集合A;
(Ⅱ)設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x1、x2.試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年福建泉州五中、莆田、漳州一中高三上期末理數(shù)學卷(解析版) 題型:選擇題
已知f(x)=,在區(qū)間[0,2]上任取三個數(shù),均存在以 為邊長的三角形,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知f(x)=在區(qū)間[2,+∞)上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( )
(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)
(C)(-4,4] (D)[-4,4]
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