Question

【題目】如圖，已知四棱錐S﹣ABCD，底面ABCD為菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F(xiàn)分別是SC，BC的中點(diǎn)．

（1）證明：SD⊥AF；
（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°，可得△ABC為正三角形．

因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以AF⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因?yàn)镾A⊥平面ACDB，AE平面ABCD，所以SA⊥AF．

而SA平面SAD，AD平面SAD且SA∩AD=A，

所以AF⊥平面PAD．又SD平面SAD，

所以AF⊥SD．

（2）解：由（1）知AF，AD，AS兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為SC，BC的中點(diǎn)，所以 ， ，

所以 ．

設(shè)平面AEF的一法向量為 ，

則 因此

取Z1=﹣1，則 ，

因?yàn)锽D⊥AC，BD⊥SA，SA∩AC=A，

所以BD⊥平面AEC，

故 為平面AEC的一法向量，且 ，

所以 ，

由于二面角E﹣AF﹣C為銳角，所以所求二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）證明AF⊥BC．SA⊥AF．推出AF⊥平面PAD．然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明AF⊥SD．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AEF的一法向量，平面AEC的一法向量，通過(guò)斜率的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．