Question

（本小題滿分12分）已知橢圓，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的橢圓的右焦點(diǎn)任作一條斜率為（）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，問在右側(cè)是否存在一點(diǎn)D，連AD、BD分別交直線于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好過，若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義及其間的基本關(guān)系易求得“”值（不一定是定義中的），從而得到橢圓的方程，求解時注意分焦點(diǎn)在和上兩種情況進(jìn)行討論；（Ⅱ）本題屬于解析幾何的綜合性題型，解題的關(guān)鍵在于將“形”的特征用“數(shù)”的形式定量地刻畫出來，由與點(diǎn)有直接關(guān)系的四點(diǎn)著手，通過共線關(guān)系找到彼此的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)量關(guān)系；其次通過直徑所對圓周角是直角來構(gòu)造向量垂直也是解決本題的一個關(guān)鍵所在，是對已知條件的深層次的挖掘；在些基礎(chǔ)上，充分運(yùn)用方程思想和精確的運(yùn)算及推理不難得出所求．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)焦點(diǎn)在上時，

由，故所求橢圓方程為．

當(dāng)焦點(diǎn)在上時，

由，故所求橢圓方程為．

綜上所述，所求橢圓方程為或．

（Ⅱ）如圖所示：

設(shè)直線的方程為，，則由

，根據(jù)韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）得：

，，

由 …… ①

三點(diǎn)共線，即,且，,

,同理可得,

……②

根所題意,（直徑所對圓周角），即，

……③

由①、②、③得：，

，由，

點(diǎn)在的右側(cè)，，．

存在滿足條件的點(diǎn)，且．

考點(diǎn)：①橢圓的方程和性質(zhì)；②直線方程；③向量共線和垂直的動用；④根下系數(shù)的關(guān)系；⑤數(shù)形結(jié)合思想；⑥方程思想；⑦推理和運(yùn)算能力．