Question

已知函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且．
①確定函數(shù)的解析式；
②用單調(diào)性的定義，證明f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

解：①∵函數(shù)在（-1，1）上是奇函數(shù)
∴f（0）=0
∴b=0
又∵，解得a=1
∴
②關(guān)于在（0，1）上是增函數(shù)的證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則                  …

∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0則f（x₁）＜f（x₂）
∴在（0，1）上是增函數(shù)．
分析：①由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)可得f（0）=0可求b，由可求a，進(jìn)而可求f（x）
②由①可得，利用單調(diào)性的定義設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，則，結(jié)合0＜x₁＜x₂＜1，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小即可
點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，f（0）=0，利用該條件可以簡化基本運算，函數(shù)單調(diào)性的定義的應(yīng)用．