Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，f（x）與g（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g（x）=6（x-2）-2（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）與g（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱可推知f（x）=g（2-x），進(jìn)而根據(jù)g（x）的解析式，求出f（x）[-1，0]上的解析式，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)求得f（x）在[-1，0]的解析式．
（2）分別看0＜x≤1和-1≤x≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f’（x）大于還是小于零，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性．進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值．

解答：解：（1）當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，2-x∈[2，3]，且y=f（x）上任意的點(diǎn)P（x，y）
關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)P'（2-x，y）都在y=g（x）圖象上．
∴f（x）=g（2-x）=6（2-x-2）-2（2-x-2）³=2x³-6x
又f（x）是偶函數(shù)
∴0＜x≤1時(shí)，f（x）=6x-2x³，
∴f(x)=

2x3-6x(-1≤x≤0) 6x-2x3(0＜x≤1)

（2）當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f‘（x）=6x²-6＜0
∴f（x）在[-1，0]單調(diào)減，
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f‘（x）=6-6x²＞0
∴f（x）在（0，1]單調(diào)增，
∴單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，0]，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]；最小值為f（0）=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用．可用導(dǎo)函數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，即在某區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f‘（x）大于0時(shí)，函數(shù)調(diào)增；小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)減．