Question

數(shù)列{a_n}中，其前n項和記為S_n，且a₁=1，2S_n=2na_n-n²+n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，n＞1，驗證n=1的情況，然后求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）求出前n項和，對倒數(shù)進行裂項然后求出前n項和即可．

解答：解：（1）

2Sn=2nan-n2+n 2Sn-1=2(n-1)an-1-(n-1)2+n-1(n≥2)

⇒an=nan-(n-1)an-1+1-n(n≥2)⇒（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=n-1⇒a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴{a_n}為等差數(shù)列，a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
Tn=2(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題是中檔題，考查數(shù)列通項公式的求法，裂項法求和的方法的應用，考查計算能力，注意通項公式求和時n=1的驗證．