Question

【題目】（本小題共l2分）

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P，使C1P＝A1C1，連接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

Answer 1

【答案】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解法一：

（Ⅰ）連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，

∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，

∴OD∥PB1，又OD面BDA1，PB1面BDA1，

∴PB1∥平面BDA1．

（Ⅱ）過(guò)A作AE⊥DA1于點(diǎn)E，連結(jié)BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，

∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂線定理可知BE⊥DA1．

∴∠BEA為二面角A－A1D－B的平面角．

在Rt△A1C1D中，，

又，∴．

在Rt△BAE中，，∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．

解法二：

如圖，以A1為原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A1－B1C1A，則，，，，．

（Ⅰ）在△PAA1中有，即．

∴，，．

設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為，

則令，則．

∵，

∴PB1∥平面BA1D，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一個(gè)法向量．

又為平面AA1D的一個(gè)法向量．∴．

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值為．

【解析】略