Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知2a=4，

c

a

=

1

2

．解得a=2，c=1，所以b²=a²-c²=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由M，N不與橢圓的頂點重合，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，代入橢圓方程可得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
由△=（-16k）²-16（4k²+3）=12k²-3＞0，得k＜-

1

2

或k＞

1

2

              …（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

16k

4k2+3

，x₁x₂=

4

4k2+3

，y₁y₂=

-28k2

4k2+3

+4
由（Ⅰ）得橢圓C的右頂點A（2，0），
因為以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，
所以k_AMk_AN=-1，
∴

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

-28k2

4k2+3

+4+

4

4k2+3

-

32k

4k2+3

+4=0，
∴k²-8k+7=0，解得k=7或k=1
當(dāng)k=1時，l：y=x-2，直線過橢圓C的右頂點A（2，0），舍去；
當(dāng)k=7時，l：y=7x-2．
綜上可知，直線l的方程是y=7x-2      …（14分）