Question

已知點P，Q的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是-

1

4

．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過點O作兩條互相垂直的射線，與點M的軌跡交于A、B兩點．試判斷點O到直線AB的距離是否為定值．若是請求出這個定值，若不是請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）M（x，y），由題可得

y

x+2

.

y

x-2

=-

1

4

，即可求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）（ⅰ）分類討論，直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，整理得5m²=4（1+k²），即可得出結(jié)論

解答： 解：（Ⅰ）M（x，y），由題可得

y

x+2

.

y

x-2

=-

1

4

化簡可得

x2

4

+y2=1
所以點M的軌跡方程為

x2

4

+y2=1（x≠±2）
（Ⅱ）點O到直線AB的距離為定值，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，則△AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：y=x
將y=x代入

x2

4

+y2=1，解得x=±

2

5

5

所以點O到直線AB的距離為d=

2

5

5

；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m與

x2

4

+y2=1(x≠±2)
聯(lián)立消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

因為OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
即（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
所以(1+k2)

4m2-4

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，整理得5m²=4（1+k²），
所以點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 5

5

綜上可知點O到直線AB的距離為定值

2

5

5

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的常用知識，要熟練掌握．