Question

【題目】在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，＝2＝2．

（1）求證：；

（2）求證：∥平面；

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：（1）取PC中點(diǎn)F，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PC⊥AF，先證明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，從而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，進(jìn)而證得PC⊥AE．

（2）取AD中點(diǎn)M，利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB，利用同位角相等證明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，證得EC∥平面PAB．

詳解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝，AC＝2．取中點(diǎn)，連AF, EF，

∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，

∴，∴，

∴．

∴．

∴PC⊥．

（2）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM．則

EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．

證法二：延長DC、AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點(diǎn)

∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN

∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．