【題目】如圖,在長方體中,、分別是棱,

上的點(diǎn),,

1) 求異面直線所成角的余弦值;

2) 證明平面

3) 求二面角的正弦值.

【答案】1,2)見解析(3

【解析】

方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,

,,

1) 解:易得,

于是

所以異面直線所成角的余弦值為

2) 證明:已知,,

于是·=0,·=0.因此,,,

所以平面

(3)解:設(shè)平面的法向量,則,

不妨令X=1,可得.由(2)可知,為平面的一個法向量.

于是,從而

所以二面角的正弦值為

方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

鏈接B1C,BC1,設(shè)B1CBC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.是異面直線EFA1D所成的角,易知BM=CM=,所以,所以異面直線FEA1D所成角的余弦值為

2)證明:連接AC,設(shè)ACDE交點(diǎn)N 因為,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.

連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因為,所以AF⊥平面A1ED

(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,為二面角A1-ED-F的平面角

易知,所以,又所以,在

連接A1C1,A1F

.所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為

練習(xí)冊系列答案
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【題目】根據(jù)教育部高考改革指導(dǎo)意見,廣東省從2021年正式實施“”新的高考考試方案.為盡快了解學(xué)生的選科需求,及時調(diào)整學(xué)校人力資源配備.某校從高一學(xué)生中抽樣調(diào)查了100名同學(xué),在模擬分科選擇中,一半同學(xué)(其中男生38人)選擇了物理,另一半(其中男生14人)選擇了歷史.請完成以下列聯(lián)表,并判斷能否有99.9%的把握說選科與性別有關(guān)?

參考公式:,其中為樣本容量.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

選物理

選歷史

總計

男生

女生

總計

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(1)當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

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【題目】已知某蔬菜商店買進(jìn)的土豆(噸)與出售天數(shù)(天)之間的關(guān)系如下表所示:

2

3

4

5

6

7

9

12

1

2

3

3

4

5

6

8

(1)請根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格紙中繪制散點(diǎn)圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(其中保留三位小數(shù));(注:

(3)在表格中(的8個對應(yīng)點(diǎn)中,任取3個點(diǎn),記這3個點(diǎn)在直線的下方的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(Ⅰ)現(xiàn)從廠家試銷的10天中抽取兩天,求這兩天的銷售量都大于40的概率;

(Ⅱ)若將頻率視作概率,回答以下問題:

(。┯浺覐S家的日返利額為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(ⅱ)商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售,如果僅從日返利額的角度考慮,請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為商場做出選擇,并說明理由.

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②當(dāng)平面平面時,平面

③當(dāng)重合于點(diǎn)時,

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A. B. C. D.

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