Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4-8|x- 3 2 |，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，4]；
②關(guān)于x的方程f(x)=

1

2

有6個不相等的實根；
③當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，則S=2；
④存在x₀∈[1，8]，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立．
其中你認為正確的所有結(jié)論的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值域,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知解析式，畫出函數(shù)的圖象，進而根據(jù)圖象得出答案．

解答： 解：當1≤x≤

3

2

時，f（x）=4+8(x-

3

2

)=8x-8；當

3

2

＜x≤2時，f（x）=4-8(x-

3

2

)=-8x+16．
當2＜x≤3時，1＜

x

2

≤

3

2

，f（x）=

1

2

f(

x

2

)=

1

2

(8×

x

2

-8)=2x-4；
當3＜x≤4時，

3

2

＜

x

2

≤2，f（x）=

1

2

(-8×

x

2

+16)=-2x+8．
當4＜x≤6時，2＜

x

2

≤3，f（x）=

1

2

(2×

x

2

-4)=

1

2

x-2；
當6＜x≤8時，3＜

x

2

≤4，f（x）=

1

2

(-2×

x

2

+8)=-

1

2

x+4．…．
畫出函數(shù)f（x）的圖象：
由圖象可知：
①函數(shù)f（x）的值域為[0，4]，正確；
②關(guān)于x的方程f(x)=

1

2

有7個不相等的實根，因此②不正確；
③當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，則S=

1

2

×1×4=2，正確；
④畫出函數(shù)y=

6

x

(x＞0)的圖象，可知與函數(shù)y=f（x）有交點，
如x=

3

2

，3，6等，因此不存在x₀∈[1，8]，使得不等式f(x0)＞

6

x0

即x₀f（x₀）＞6成立，因此正確．
綜上可知：①③④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了分段函數(shù)的解析式、圖象及其性質(zhì)，考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．