Question

9．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+b（x∈R）
（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，求不等式f（x）≥|x|的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=-x（x-a）+b=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，分類討論，即可求不等式f（x）≥|x|的解集．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=-x（x-a）+b=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
∴x=$\frac{a}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$+b；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，不等式f（x）≥|x|為x|x-1|-1≥|x|
x＜0時(shí)，不等式可化為x²-2x+1≤0，∴x=1，不滿足；
0≤x≤1時(shí)，不等式可化為x²+1≤0，不滿足；
x＞1時(shí)，不等式可化為x²-2x-1≥0，∴x≥1+$\sqrt{2}$，
∴不等式f（x）≥|x|的解集為{x|x≥1+$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查絕對值函數(shù)，考查配方法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．