Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率 ，且其中一個焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)S（ ，0）的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的方程為 ，離心率 ， ，拋物線 的焦點(diǎn)為（0，1），所以 ，橢圓C的方程是x2+ =1
（2）解：若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+ ）2+y2= ．

由 解得 即兩圓相切于點(diǎn)（1，0）．

因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（1，0）．

事實(shí)上，點(diǎn)T（1，0）就是所求的點(diǎn)．證明如下：

當(dāng)直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．

若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k（x+ ）．

由 即（k2+2）x2+ k2x+ k2﹣2=0．

記點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則

又因?yàn)? =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2）， =（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+ ）（x2+ ）

=（k2+1）x1x2+（ k2﹣1）（x1+x2）+ k2+1

=（k2+1） +（ k2﹣1） + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．

所以在坐標(biāo)平面上存在一個定點(diǎn)T（1，0）滿足條件

【解析】（1）先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c，進(jìn)而求得a，則b可得，進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x2+y2=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是（x+ ）2+y2= ．聯(lián)立兩個圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo)，推斷兩圓相切，進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是這個切點(diǎn)．證明時先看直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（1，0）．再看直線l不垂直于x軸，可設(shè)出直線方程，與圓方程聯(lián)立消去y，記點(diǎn)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據(jù)偉大定理求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，代入 的表達(dá)式中，求得 =0，進(jìn)而推斷TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（1，0）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．