如圖,已知三棱錐的側(cè)棱、、兩兩垂直,且,,的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到面的距離;
(2)求二面角的正弦值.
(1);(2).

試題分析:(1)解法一是利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離,具體做法是:先利用、兩兩垂直以及它們的長(zhǎng)度計(jì)算出三棱錐的體積,然后將此三棱錐轉(zhuǎn)換成以點(diǎn)為頂點(diǎn),以所在平面為底面的三棱錐通過(guò)體積來(lái)計(jì)算點(diǎn)到平面的距離;解法二是直接利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離;(2)解法一是通過(guò)三垂線法求二面角的正弦值,即在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),連接、,證明,,從而得到為二面角的平面角,再選擇合適的三角形求出的正弦值;解法二是直接利用空間向量法求二面角的余弦值,進(jìn)而求出它的正弦值.
試題解析:解法一:(1)如下圖所示,取的中點(diǎn),連接、

由于,,且,
平面,平面平面,
平面,
,的中點(diǎn),,
,平面平面,平面,
平面,
,且,,
的中點(diǎn),,
平面平面,,,

,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由等體積法知,
,即,即點(diǎn)到平面的距離為;
(2)如下圖所示,過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,垂足為點(diǎn),連接,

,,
平面,平面平面,即平面,
平面,,又,,
平面平面,平面
平面,,
,,
,,
同理可知,故二面角的平面角為
,
中,,
中,,,
由正弦定理得,
即二面角的正弦值為
解法二:(空間向量法)由于、兩兩垂直,不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、所在直線分別為軸、軸、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(1)由上圖知,,,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,
,
,
,
,可得平面的一個(gè)法向量為,而,
,,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則
即點(diǎn)到平面的距離為;
(2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,
,
,
,可得平面的一個(gè)法向量為,
,,,
設(shè)二面角的平面角為,則為銳角,
,
即二面角的正弦值為.
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;
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