Question

已知橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓G上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-3，2）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）由橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓G上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，知|F₁F₂|=4

2

，即c=2

2

，2a=|PF₁|+|PF₂|=4

3

，由此能求出橢圓G的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．由

y=x+m x 2   12 + y 2   4 =1

得，4

x

2

+6mx+3

m

2

-12=0．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中點(diǎn)為E（x₀，y₀），則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，由此能求出△PAB的面積．

解答：解：（1）∵橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在橢圓G上，
且PF₁⊥F₁F₂，且|PF1|=

2 3

3

，|PF2|=

10 3

3

，
∴|F₁F₂|=

100 3 - 4 3

=4

2

，∴c=2

2

，
2a=|PF₁|+|PF₂|=4

3

，∴a=2

3

，
又∵b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由

y=x+m x 2   12 + y 2   4 =1

，得4

x

2

+6mx+3

m

2

-12=0．
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
AB中點(diǎn)為E（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=-

3m

4

，y0=x0+m=

m

4

，
因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率k=

2- m 4

-3+ 3m 4

=-1．
解得m=2．
此時(shí)方程①為4

x

2

+12x=0．解得x₁=-3，x₂=0．
所以y₁=-1，y₂=2．所以|AB|=3

2

．
此時(shí)，點(diǎn)P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d=

|-3-2+2|

2

=

3 2

2

，
所以△PAB的面積S=

1

2

|AB|•d=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．