Question

直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P（2，1）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可知，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與已知直線垂直時，兩直線的交點(diǎn)到點(diǎn)P的距離最短，所以根據(jù)已知直線的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出過點(diǎn)P直線的斜率，又根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫出該直線的方程，然后聯(lián)立兩直線的方程得到一個二元一次方程組，求出方程組的解即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意可知：所求點(diǎn)即為過P點(diǎn)垂直于已知直線的交點(diǎn)，
因?yàn)橐阎�直線3x-4y-27=0的斜率為

3

4

，所以過P點(diǎn)垂直于已知直線的斜率為-

4

3

，
又P（2，1），
則該直線的方程為：y-1=-

4

3

（x-2）即4x+3y-11=0，
聯(lián)立得：

4x+3y-11=0① 3x-4y-27=0②

，
①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，
把x=5代入①解得y=-3，
所以

x=5 y=-3

，
則直線3x-4y-27=0上到點(diǎn)P（2，1）距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是（5，-3）．
故答案為：（5，-3）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，會根據(jù)兩直線的方程求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，是一道中檔題．解本題的關(guān)鍵是過點(diǎn)P在已知直線的垂線，垂足即為已知直線上到點(diǎn)P的最短距離的點(diǎn)．