Question

【題目】如圖,已知橢圓的長軸為,過點(diǎn)的直線與軸垂直,橢圓的離心率, 為橢圓的左焦點(diǎn),且.

（Ⅰ）求此橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)是此橢圓上異于的任意一點(diǎn), , 為垂足,延長到點(diǎn)使得.連接并延長交直線于點(diǎn), 為的中點(diǎn),判定直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，求解的值，再由，得到的值，即可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)（），則，因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，得直線的方程為，進(jìn)而得到坐標(biāo)和的直線方程，再利用圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系，即可作出證明．

試題解析：

（Ⅰ）由題得,解得

則

則橢圓方程為

（Ⅱ）與以為直徑的圓相切,證明如下：

設(shè)（）,則又因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為

所以直線的斜率

則直線的方程為,當(dāng)時(shí),

則點(diǎn)坐標(biāo)為,又因?yàn)?/span>,則

則直線的斜率為

則直線的方程為：

則點(diǎn)到直線的距離為

又因?yàn)?/span>

則

則與以為直徑的圓相切