Question

3．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，{b_n}是公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列．記b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*）若不等式a_n＞a_n+1對(duì)一切n∈N^*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 通過(guò)化簡(jiǎn)a_n+1-a_n=$\frac{_{n+1}-2}{_{n+1}-1}$-$\frac{_{n}-2}{_{n}-1}$=$\frac{-\frac{1}{3}_{n}}{（1-\frac{2}{3}_{n}）（1-_{n}）}$＜0，解得b_n＞$\frac{3}{2}$或0＜b_n＜1，分別對(duì)兩種情況討論．

解答 解：∵b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-1}$（n∈N^*），
∴a_n=$\frac{_{n}-2}{_{n}-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{_{n+1}-2}{_{n+1}-1}$-$\frac{_{n}-2}{_{n}-1}$
=$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n+1}-1}$
=$\frac{_{n+1}-_{n}}{（1-_{n+1}）（1-_{n}）}$
=$\frac{-\frac{1}{3}_{n}}{（1-\frac{2}{3}_{n}）（1-_{n}）}$
＜0，
解得b_n＞$\frac{3}{2}$或0＜b_n＜1，
若b_n＞$\frac{3}{2}$，則b₁•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$＞$\frac{3}{2}$不可能對(duì)一切正整數(shù)n成立；
若0＜b_n＜1，則0＜b₁•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$＜1對(duì)一切正整數(shù)成立，
只要0＜b₁＜1即可，
即0＜$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}-1}$=$\frac{a-2}{a-1}$＜1，
解得：a＞2，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．