Question

11．已知$f（n）=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，用數(shù)學(xué)歸納法證明f（2ⁿ）＞$\frac{n}{2}$時(shí)，f（2^k+1）-f（2^k）等于$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．

Answer 1

分析 首先由題目假設(shè)n=k時(shí)，代入得到f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$，當(dāng)n=k+1時(shí)，f（2^k+1）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，由已知化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．

解答 解：因?yàn)榧僭O(shè)n=k時(shí)，f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，f（2^k+1）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$，
所以f（2^k+1）-f（2^k）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$）=$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．
故答案是：$\frac{1}{{{2^k}+1}}+\frac{2}{{{2^k}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念問(wèn)題，涵蓋知識(shí)點(diǎn)少，屬于基礎(chǔ)性題目．需要同學(xué)們對(duì)概念理解記憶．