【題目】已知函數(shù).

)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;

)若,討論函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間;

)若有兩個極值點,證明:.

【答案】;()詳見解析;()證明見解析.

【解析】

)求出的值,利用點斜式可得出所求切線的方程;

)求得,由,分兩種情況討論,分析的符號變化,可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;

)由題意可知,方程有兩正根、,利用韋達定理得出,將所證不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明出當(dāng)時,即可.

由題可知:函數(shù)的定義域為

)因為時,,所以,

那么

所以曲線處的切線方程為:,

;

)因為,由可得:

①當(dāng),,時,有,,滿足,

,

即函數(shù)上為減函數(shù);

時,,即函數(shù)上為增函數(shù);

②當(dāng)時,,恒成立,所以函數(shù)為減函數(shù).

綜上可知:

當(dāng)時,函數(shù)上為減函數(shù),

上為增函數(shù);

當(dāng)時,函數(shù)上為減函數(shù);

)因為有兩個極值點,

有兩個正根、,則有,且,即,

所以

若要,即要,

構(gòu)造函數(shù),則,易知上為增函數(shù),

,

所以存在使,

且當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)上有最小值為,

又因為,所以上恒成立,

成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:

組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

(1)由頻數(shù)分布表可以認為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求

(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:

(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機話費,得分低于的可以獲贈1次隨機話費;

(ii)每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:

獲贈的隨機話費(單位:元)

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:①;

②若,則,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱柱ABCA1B1C1中,M,M1分別為AB,A1B1中點.

1)求證:C1M1∥面A1MC;

2)若面ABC⊥面ABB1A1,△AB1B為正三角形,AB2,BC1,,求四棱錐B1AA1C1C的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】大自然是非常奇妙的,比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結(jié)構(gòu)如圖所示,開口為正六邊形ABCDEF,側(cè)棱AA'、BB'、CC'、DD'EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直,蜂房底部由三個全等的菱形構(gòu)成.瑞士數(shù)學(xué)家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結(jié)構(gòu)是在相同容積下所用材料最省的,因此,有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學(xué)方法設(shè)計自己的家園.英國數(shù)學(xué)家麥克勞林通過計算得到∠BCD′=109°2816'.已知一個房中BB'5,AB2,tan54°4408',則此蜂房的表面積是_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】近五年來某草場羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)兩變量間的關(guān)系如表所示,繪制相應(yīng)的散點圖,如圖所示:

年份

1

2

3

4

5

羊只數(shù)量(萬只)

1.4

0.9

0.75

0.6

0.3

草地植被指數(shù)

1.1

4.3

15.6

31.3

49.7

根據(jù)表及圖得到以下判斷:①羊只數(shù)量與草場植被指數(shù)成減函數(shù)關(guān)系;②若利用這五組數(shù)據(jù)得到的兩變量間的相關(guān)系數(shù)為,去掉第一年數(shù)據(jù)后得到的相關(guān)系數(shù)為,則;③可以利用回歸直線方程,準確地得到當(dāng)羊只數(shù)量為2萬只時的草場植被指數(shù);以上判斷中正確的個數(shù)是(

A.0B.1C.2D.3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx,若存在x1,x2Rx1x2,使得fx1)=fx2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是(

A.[3,+∞)B.3,+∞)C.(﹣∞,3D.(﹣∞,3]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=x2+acosx

1)求函數(shù)fx)的奇偶性.并證明當(dāng)|a|2時函數(shù)fx)只有一個極值點;

2)當(dāng)aπ時,求fx)的最小值;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】4個相同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為;把4個不同的小球全部放入2個不同的盒子里,每個盒子至少放1個球,不同的放法數(shù)記為.現(xiàn)在從的所有整數(shù)中(包括兩個整數(shù))抽取3個數(shù),則這3個數(shù)之和共有( )種結(jié)果.

A.26B.27C.28D.29

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線C,過拋物線焦點F的直線交拋物線CAB兩點,P是拋物線外一點,連接分別交拋物線于點C,D,且,設(shè),的中點分別為M,N.

1)求證:軸;

2)若,求面積的最小值.

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