Question

（2013•臨沂一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率與等軸雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線(xiàn)l：x-y+

2

=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作直線(xiàn)MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=4，證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（-

1

2

，-1）．

Answer 1

分析：（I）由等軸雙曲線(xiàn)的離心率為

2

，可得橢圓的離心率e=

1

2

=

c

a

．因?yàn)橹本�(xiàn)l：x-y+

2

=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)可得

2

2

=b，再利用a²=b²+c²即可得出；
（II）分直線(xiàn)AB的斜率不存在與存在兩種情況討論，①不存在時(shí)比較簡(jiǎn)單；②斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式，再利用k₁+k₂=4即可證明．

解答：（I）解：∵等軸雙曲線(xiàn)的離心率為

2

，∴橢圓的離心率e=

1

2

=

c

a

，
又∵直線(xiàn)l：x-y+

2

=0與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，
∴

2

2

=b，即b=1，
聯(lián)立

c a = 1 2 a2=b2+c2 b=1

，解得

a2=2 b=c=1

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）證明：由（I）可知：M（0，1）．
①若直線(xiàn)AB的斜率不存在，設(shè)方程為x=x₀，則A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀）．
由已知得

y0-1

x0

+

-y0-1

x0

=4，解得x0=-

1

2

，
此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=-

1

2

，顯然過(guò)點(diǎn)(-

1

2

，-1)．
②若直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+m，由橢圓m≠±1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

．
化為（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．（*）
∵k₁+k₂=4，∴

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=4，
∴

kx1+m-1

x1

+

kx2+m-1

x2

=4，化為2k+(m-1)

x1+x2

x1x2

=4．
把（*）代入得k-

km

m+1

=2，∴k=2（m+1），∴m=

k

2

-1．
∴直線(xiàn)AB的方程為y=kx+

k

2

-1，即y=k(x+

1

2

)-1，
∴直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(-

1

2

，-1)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓與原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與圓性質(zhì)的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、直線(xiàn) 與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立化為一元二次方程點(diǎn)到根與系數(shù)的關(guān)系、直線(xiàn)的斜率計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．