Question

4．在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a，b，設h為斜邊上的高，則$\frac{1}{h^2}$=$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$，類比此性質(zhì)，如圖，在四面體P-ABC 中，若PA，PB，PC兩兩垂直，且長度分別為a，b，c，設棱錐底面ABC上的高為h，則得到的正確結(jié)論為$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

Answer 1

分析 立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點?點或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關系即可．

解答 解：∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面PBC．
設PD在平面PBC內(nèi)部，且PD⊥BC，
由已知有：PD=$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，h=PO=$\frac{a•PD}{\sqrt{{a}^{2}+P{D}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即 $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．
故答案為：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

點評 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，將已知的一類數(shù)學對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學對象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜測新的結(jié)論．