Question

已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為2．斜率為k（k≠0）的直線l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）試用m表示△MPQ的面積，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）  根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)，就可求出a，再根據(jù)橢圓的離心率e=，就可求出c值，再結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系式求出b值，就可得到橢圓方程．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�l斜率為k（k≠0）且過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，就可得到直線l的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，解得P，Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，縱坐標(biāo)之和，均用含k的式子表示，線段PQ的垂直平分線斜率等于直線l斜率的負(fù)倒數(shù)且過(guò)線段PQ的中點(diǎn)，就可以k為參數(shù)求出垂直平分線的點(diǎn)斜式方程，令x=0，解出M點(diǎn)的坐標(biāo)，把m用含k的式子表示，根據(jù)k的范圍求出m的范圍．
（Ⅲ）y軸把△PQM分成了兩個(gè)三角形，△PMF₁和△QMF₁所以△PQM的面積就是△PMF₁和△QMF₁的面積之和．△PMF₁和△QMF₁都可看做以MF1為底，高分別為P點(diǎn)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，利用（Ⅱ）中得到的x₁+x₂，x₁x₂的值，就可把△PQM的面積用含m的式子表示，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為2，即2a=2，∴a=
橢圓的離心率為，即e=
∵e=，∴，
∴c=1
又∵a²=b²+c²，∴b=1．
又斜率為k（k≠0）的直線l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，即橢圓的焦點(diǎn)在Y軸上
∴橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則△=8k²+8＞0
，．
．
設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
∵M(jìn)（0，m），∴直線MN的斜率k_MN=
∵直線MN為PQ的垂直平分線，∴k_MN•k=-1，
可得．即，
又k≠0，∴k²+2＞2，
∴，即．
（Ⅲ）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為F，
∵y軸把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴=|FM||x₁|+|FM||x₂|=|FM|（|x₁|+|x₂|）
∵P，Q在y軸兩側(cè)，∴|x₁|+|x₂|=||（x₁-x₂）
∴，
∵，
由，可得．
∴．
又∵|FM|=1-m，∴．
∴△MPQ的面積為（）．
設(shè)f（m）=m（1-m）³，則f'（m）=（1-m）²（1-4m）．
可知f（m）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．
∴f（m）=m（1-m）³有最大值．此時(shí)∴△MPQ的面積為×=
∴△MPQ的面積有最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題（Ⅰ）考查了橢圓定義的應(yīng)用和橢圓性質(zhì)的應(yīng)用求橢圓方程，（Ⅱ）考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，（Ⅲ）考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值．本題綜合性強(qiáng)，須認(rèn)真分析，正確作答．