Question

F₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₁的直線l與C的左右兩支分別交于AB兩點，若BF₂⊥AB，且線段AB，BF₂，AF₂長度成等差數(shù)列，則e=

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運用雙曲線的定義和等差數(shù)列的性質(zhì)，計算即可得到|BF₂|=4a，再在直角三角形BF₁F₂中，運用勾股定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到．

解答： 解：設(shè)|BF₂|=n，
由雙曲線的定義可得，|BF₁|=|BF₂|+2a=n+2a，
設(shè)|AF₂|=m，由線段AB，BF₂，AF₂長度成等差數(shù)列，
即有2|BF₂|=|AB|+|AF₂|，
即為2n=|AB|+m，
即|AB|=2n-m，
由雙曲線的定義可得，|AF₁|=|AF₂|-2a=m-2a，
即有|BF₁|=|AB|+|AF₁|=2n-2a，
則2n-2a=n+2a，即為n=4a，
在直角三角形BF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²，
即有4c²=（2n-2a）²+n²=（6a）²+16a²，
即有c²=13a²，
即離心率e=

c

a

=

13

．
故答案為：

13

．

點評：本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，運用雙曲線的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．