Question

若數列{a_n}滿足a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n為數列{a_n}前n項和，則log₂（S₂₀₁₂+2）=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：依題意，a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，則S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂），利用等比數列的求和公式可求得S₂₀₁₂+2=2²⁰¹³，從而可得答案．

解答： 解：∵a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n為數列{a_n}前n項和，
∴S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）
=（2¹+2²）+（2³+2?）+…+（2²⁰¹¹+2²⁰¹²）
=2+2²+2³+…+2²⁰¹²
=

2(1-22012)

1-2

=2²⁰¹³-2，
∴S₂₀₁₂+2=2²⁰¹³，
∴l(xiāng)og₂（S₂₀₁₂+2）=log₂2²⁰¹³=2013．
故答案為：2013．

點評：本題考查數列的求和，依題意得到S₂₀₁₂=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a₂₀₁₁+a₂₀₁₂）是關鍵，考查化歸思想與等比數列的求和及對數的運算性質，屬于中檔題．