Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域D，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果當(dāng)x∈（t，a）時(shí)，f（x）的值域是（-∞，1），求a與t的值；
（3）對(duì)任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）要使原函數(shù)有意義，則，解得-1＜x＜1，
所以，函數(shù)f（x）的定義域D=（-1，1）
f（x）是定義域內(nèi)的奇函數(shù)．
證明：對(duì)任意x∈D，有
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
另證：對(duì)任意x∈D，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）由知，函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞減，
因?yàn)?＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
又因?yàn)閤∈（t，a）時(shí)，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且在（t，a）的值域是（a，+∞），
故且t=-1（結(jié)合g（x）圖象易得t=-1）
由得：a²+a=1-a，解得或a=（舍去）．
所以，t=-1
（3）假設(shè)存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即
則，
解得，
下面證明．
證明：法一、
由．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，，
∴，即，∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要證明，即證，也即．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴，∴，
∴．
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
分析：（1）直接由真數(shù)大于0，解分式不等式可得函數(shù)的定義域，利用定義判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）給出的函數(shù)是對(duì)數(shù)型的復(fù)合函數(shù)，經(jīng)分析可知內(nèi)層分式函數(shù)為減函數(shù)，外層對(duì)數(shù)函數(shù)也為減函數(shù)，要保證
當(dāng)x∈（t，a）時(shí)，f（x）的值域是（-∞，1），首先應(yīng)有（t，a）⊆（-1，1），且當(dāng)x∈（t，a）時(shí)，
∈（a，+∞），結(jié)合內(nèi)層函數(shù)圖象及單調(diào)性可得t=-1，且，從而求出a和t的值；
（3）假設(shè)存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），代入對(duì)數(shù)式后把x₃用x₁，x₂表示，只要能夠證明x₃在定義域內(nèi)即可，證明可用作差法或分析法．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了復(fù)合函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的證明方法，該題綜合考查了函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，屬有一定難度的題目．