Question

設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足下列條件：（1）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1．（2）對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁）•f（x₂）+g（x₁）•g（x₂）=g（x₁-x₂），則當(dāng)n＞2，n∈N^*時，[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，令x₂=0得g（x₁）=0或g（0）=1，再令x₁=-x₂=1得g（0）=1；從而令x₁=x₂得f²（x₁）+g²（x₁）=1，從而求最大值．

解答： 解：由題意，令x₂=0得，
f（x₁）•f（0）+g（x₁）•g（0）=g（x₁），
即g（x₁）•g（0）=g（x₁），
故g（x₁）=0或g（0）=1；
令x₁=-x₂=1；
則f（1）•f（-1）+g（1）•g（-1）=g（2），
即-1+g（1）•g（-1）=g（2），
故g（x₁）=0不成立，
故g（0）=1；
令x₁=x₂得，
f²（x₁）+g²（x₁）=1，
故[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ的最大值為1；
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，注意特殊值的應(yīng)用，屬于中檔題．