Question

【題目】已知曲線C上任意一點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用曲線C上任意一點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=4，其中，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及，即可求得結(jié)論

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得a=2，c=，

所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求橢圓C的方程為．

（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線方程代入整理得

，因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O

所以，即．

又，

于是，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的△＞0，符合題意．

所以當(dāng)時(shí)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．