Question

給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R．
（1）若∠AOC=30°，求x，y的值；
（2）求x+y的最大值．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，分別求出A，B的坐標(biāo)，及∠AOC=30°時(shí)，C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)

OC

=x

OA

+y

OB

，構(gòu)造關(guān)于x，y的方程，解方程即可得到滿足條件的x，y的值；
（2）則

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα），我們求出x+y的表達(dá)式，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x+y的最大值．

解答：解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（-

1

2

，

3

2

）
即B（-

1

2

，

3

2

）．
設(shè)∠AOC=α，則

OC

=（cosα，sinα）．
∴當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，

OC

=（

3

2

，

1

2

）
則

3 2 =x- 1 2 y 1 2 = 3 2 y

∴x=

2 3

3

，y=

3

3

 …（7分）
（2）∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，0）+（-

y

2

，

3

2

y）=（cosα，sinα）．
∴

x- y 2 =cosα 3 2 y=sinα.

∴

x= sinα 3 + cosα y= 2sinα 3

∴x+y=

3

sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，當(dāng)α=60°時(shí)取最大值2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，其中建立坐標(biāo)系，分別求出A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，將一個(gè)幾何問題代數(shù)化，是解答本題的關(guān)鍵．