Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（x-a）^{2}}{lnx}$（其中a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間和極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的3個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
①求a的取值范圍；
②證明：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁+x₃＞$\frac{2}{\sqrt{e}}$．

Answer 1

分析 （1）a=0時(shí)求出f（x），求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可找出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并找出極值點(diǎn)；
（2）①求f′（x）=$\frac{（x-a）（2lnx+\frac{a}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$，設(shè)h（x）=$2lnx+\frac{a}{x}-1$，求h′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可以得到$h（\frac{a}{2}）$是h（x）的最小值，而根據(jù)已知條件h（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，從而得到$h（\frac{a}{2}）＜0$，解不等式即得a的取值范圍；
②先判斷出x₂=a，從而x₁，x₃是函數(shù)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，這樣即可得到2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃．可設(shè)g（x）=2xlnx-x，求g′（x），根據(jù)其符號(hào)可判斷g（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上單調(diào)遞減，而不等式${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$等價(jià)于$g（{x}_{1}）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）＞0$，設(shè)F（x）=$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$，F(xiàn)（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0，而F（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上單調(diào)遞減，從而得到F（x）＞0，從而得到F（x₁）＞0，這樣即證出了結(jié)論．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，$f′（x）=\frac{x（2lnx-1）}{（lnx）^{2}}$；
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；x$∈（1，\sqrt{e}）$時(shí)，f′（x）＜0；x$∈（\sqrt{e}，+∞）$時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），（1，$\sqrt{e}$]，極值點(diǎn)為x=$\sqrt{e}$；
（2）①f′（x）=$\frac{（x-a）（2lnx+\frac{a}{x}-1）}{l{n}^{2}x}$；
令h（x）=$2lnx+\frac{a}{x}-1$，h′（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}}$；
∴h（x）在（0，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{a}{2}，+∞$）上單調(diào)遞增；
∴$h（\frac{a}{2}）$是h（x）的最小值；
∵f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)x₁＜x₂＜x₃；
∴$h（\frac{a}{2}）=2ln\frac{a}{2}+1＜0$；
∴$a＜\frac{2}{\sqrt{e}}$；
∴a的取值范圍為（0，$\frac{2}{\sqrt{e}}$）；
②證明：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0；
∴x₂=a；
即x₁，x₃是函數(shù)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2ln{x}_{1}+\frac{a}{{x}_{1}}-1=0}\\{2ln{x}_{3}+\frac{a}{{x}_{3}}-1=0}\end{array}\right.$；
消去a得2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃；
令g（x）=2xlnx-x，g′（x）=2lnx+1，g′（x）的零點(diǎn)為x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，且${x}_{1}＜\frac{1}{\sqrt{e}}＜{x}_{3}$；
∴g（x）在$（0，\frac{1}{\sqrt{e}}）$上遞減，在$（\frac{1}{\sqrt{e}}，+∞）$上遞增；
要證明${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$?${x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}$?$g（{x}_{3}）＞g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）$；
∵g（x₁）=g（x₃），∴即證$g（{x}_{1}）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-{x}_{1}）＞0$；
構(gòu)造函數(shù)F（x）=$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$，則F（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=0；
∴只要證明$x∈（0，\frac{1}{\sqrt{e}}]$上F（x）單調(diào)遞減；
g（x）在（$0，\frac{1}{\sqrt{e}}$]單調(diào)遞減；
∴x增大時(shí)，$\frac{2}{\sqrt{e}}$-x減小，$g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$增大，-$g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$減小；
∴$-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是減函數(shù)；
∴$g（x）-g（\frac{2}{\sqrt{e}}-x）$在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$]上是減函數(shù)；
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，${x}_{1}+{x}_{3}＞\frac{2}{\sqrt{e}}$．

點(diǎn)評 考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)極值點(diǎn)的方法，極值點(diǎn)的概念，以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)最值的方法，根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．