Question

15．從雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T，延長FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M是線段FP的中點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則|MO|-|MT|的值是b-a．

Answer 1

分析 設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′．利用三角形的中位線定理和雙曲線的定義可得：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，連接OT，則OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，可得|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，
設(shè)F′是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′．
∵點(diǎn)M，O分別為線段PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，
由三角形中位線定理得到：|OM|=$\frac{1}{2}$|PF′|=$\frac{1}{2}$（|PF|-2a）=$\frac{1}{2}$|PF|-a=|MF|-a，
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a，連接OT，因為PT是圓的切線，則OT⊥FT，
在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a，∴|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．
∴|OM|-|MT|=b-a．
故答案為：b-a．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，結(jié)合三角形的中位線定理、直線與圓相切的性質(zhì)等知識，考查學(xué)生的計算能力和分析能力，是中檔題．