Question

已知單位圓O上的兩點(diǎn)A，B及單位圓所在平面上的一點(diǎn)P，滿足

OP

=m

OA

+

OB

（m為常數(shù)）．
（1）如圖所示，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值；
（2）若m=2，求|

OP

|的取值范圍；
（3）若

OA

•

OB

=-

1

3

，線段AB與OP交于點(diǎn)D，試求當(dāng)△OPB為直角三角形時(shí)

OD

•

OA

的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的減法運(yùn)算，結(jié)合條件，即可得到結(jié)論；
（2）利用向量的加法運(yùn)算，可得結(jié)論；
（3）分類討論，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，

OP

=

AB

=

OB

-

OA

∵

OP

=m

OA

+

OB

，∴m=-1；
（2）m=2，

OP

=2

OA

+

OB

    
∵單位圓O上的兩點(diǎn)A，B及單位圓所在平面上的一點(diǎn)P，
∴1＜|

OP

|＜3；
（3）因?yàn)?span id="4yfmvvk" class="MathJye">

OA

•

OB

=-

1

3

，所以cos∠BOA=-

1

3

  
所以cos∠BAO=cos∠ABO=

6

3

 
所以

OP

•

OA

=m-

1

3

所以①當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，∠POA=90°，所以

OD

•

OA

=0；
②當(dāng)∠POB=90°時(shí)，因?yàn)閏os∠BAO=cos∠ABO=

6

3

，所以tan∠OBA=

2

2

所以O(shè)D=

2

2

又因?yàn)閏os∠BOA=-

1

3

，∠BOA-∠DOA=90°，所以cos∠DOA=

2 2

3

所以

OD

•

OA

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．